大圏コース 距離

大圏航法は大圏コースを通る航法で、国土地理院地図でも簡単に引くことができる(できた?)ようです。

しかし、より、具体的に飛行ルートを知りたいとおもいました。

まず、飛行距離を求めることからはじめました。

距離の計算に関してはJavaやPythonのライブラリーにもあるようです。

しかし、自分で計算してみたくなりました。

東京からニューヨークまでの距離を球面三角法の余弦定理をつかって計算しましたぁ🐶

大円

東京を出発して、ニューヨークへ向かう大圏コース（大圏航法で通るコース）は、次の３つの大円を考えます。

北極点、出発点（東京）、地球の中心点が作る大円(1)

北極点、到着点（ニューヨーク）、地球の中心点が作る大円(2)

出発点（東京)、到着点（ニューヨーク)、地球の中心点が作る大円(3)

三角形

この３つの大円は地球表面に貼りつく３角形を作りますね。

この三角形の、
北極点から出発点までの辺は、大円(1)の弧、(辺１とします、）
北極点から到着点までの辺も、大円(2)の弧、(辺２とします、）
出発点から到着点までの辺も、大円(3)の弧、(辺３とします、）
ですなぁ🐶

弧度法

弧度法は半径１の円があるとして、 その半径と同じ長さの円周で切り取ったときの角度を１ラジアンとする角度の表し方だそうですので
辺１の長さを地球の半径の数字で割り算すると辺１の長さのラジアン値に、
辺２の長さを地球の半径の数字で割り算すると辺２の長さのラジアン値に、
辺３の長さを地球の半径の数字で割り算すると辺３の長さのラジアン値に、
なるとおもいました🐶

コサイン

辺１についてみれば、 北極点から赤道までの長さから出発点の分を引き算した長さと考えることができます。

弧度法で円の1周分は、2πであらわされ、円の1/2周分はπであらわされ、円の1/４周分はπ/2で表されます。

なので、辺１の長さは、π/2 - 出発点の緯度でしょう。

辺２についても同様ですね。

辺３については出発地点経度を基準にしてみる到着地点経度の差は地球表面に貼りつく３角形の頂点（北極点）の角度(Δ)ですが、 弧度法では角は辺も表す意味をもっているようでcosΔは出発点から到着点までの（地球表面に貼りつく３角形上の）辺の長さを表している、そのように理解することにしました🐶

余弦定理

ここで、球面三角法の余弦定理という公式が イキナリでます、
どうして？という釈然としないような納得いかないようなマニュアル主義に乗せられているようでイヤですが🐶
(素直に従っていたら苦労しなかったと思いますニャ🐱)
ここは、試行錯誤して老人になっても仕方ありませんので先人の知恵にありがとうございます🐶

cos a = cos b × cos c + sin b × sin c × cosA
という公式だそうです。
ここで、cos a は辺を表し、cos Aは角を表していると理解するようです。

東京・ニューヨーク 距離

東京から大圏コースでニューヨークへ行く航路の距離は、 辺３を求めたいので、公式の左辺に辺３をあてはめる。

そして、辺１と辺２を右辺のほうへあてはめる。

すると、左辺が求まるので距離が求まってゆく、 そのようなことだと理解しました。

疑問

ところで、辺１の長さは、北極点から出発点までの距離を地球の半径で割り算したものであって、 cos b と等しいかというと正直な気持ち、ピンときません・・・が、ここも素直に従うことにしました🐶
おそらく、三角関数について、丁寧に図で考えてみるとわかるのだとおもいました。

東京・ニューヨーク 距離 計算

cos a = cos b × cos c + sin b × sin c × cosA

たとえば、cos b は、北極点・出発点（東京）・地球中心点がつくる大円の地表部分の辺の長さを表しているという理解ですので、
cos(π/2 - 出発地点(東京）緯度[ラジアン値])という理解になりました。

余弦定理に当てはめてゆきますが、
cos a=cos(π/2 - 出発地点(東京）緯度)×cos(π/2 - 到着地点（ニューヨーク)緯度)+sin(π/2 - 出発地点(東京）緯度)×sin(π/2 - 到着地点（ニューヨーク)緯度) × cos(到着地点(ニューヨーク)と出発地点(東京)の経度差)
このようになるとおもいました。
(なお、角度はラジアンです!!)

左辺はcos a ですが、アークコサインの関数(PHPでも、Javaなど）で a を求めると 大円(3)における角(出発点・地球中心点・到着点）の角度(ラジアン)がでまして、 この角度で切り取られた大円の弧の長さ が半径１モデルの地球上の大圏航路距離であるという理解をしました。

ここまでで、地球の半径を１というモデルで考えてきましたが、半径を実寸にすべく約6371km倍すれば、 出発点（東京）から到着点（ニューヨーク）までの距離が求まる、その距離は大円上をとおっている通り道の距離ですので最短距離であり、これが大圏航路距離であると理解しました🐶

* なお、大圏航路は軍事的には弾道ミサイルの軌道を意味するというネット情報がありました。しかし、いぬ機長が計算できる（できてない?🐱）くらいで軍事用としては実用にならないとおもいました。
距離に関してはライブラリなどで比較的簡単に求まる例が多々見受けられましたので、
マイクロソフト フライトシミュレータで飛行する人がゲーム用に参考としていただければとおもいました🐶